sistem pertidaksamaan kuadrat linier

 

Pertidaksamaan linier dua variabel yaitu suatu pertidaksamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi satu.
Penyelesaian dari pertidaksamaa linier dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Catesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linier.

contoh soal :
1) gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier y ≤ –2x + 6, dengan x dan y anggota real.
Jawab

Apabila daerah penyelesaian pertidaksamaan linier diketahui dan garis batasnya melalui dua titik tertentu, maka pertidaksamaan liniernya dapat ditentukan.
Jika kedua titik yang diketahui berada pada sumbu-X dan sumbu-Y, maka persamaan liniernya ditentukan dengan rumus:

Sedangkan pertidaksamaan kuadrat dua variabel (x dan y) merupakan suatu pertidaksamaan dengan variabel x memiliki pangkat tertinggi dua

Secara umum bentuk fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dan grafiknya berbentuk parabola. Langkah untuk menggambar grafik :

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x , syaratnya y = 0     2. Menentukan titik potong dengan sumbu y, syaratnya x = 0        3. Menentukan titik maksimum/minimum fungsi, yaitu

contoh soal :

1) Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat y > x2 – 8x + 12       jawab :

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

x2 – 8x + 12 = 0

(x – 6)(x – 2) = 0

x = 6 dan x = 2 Titik potongnya (2, 0) dan (6, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

y = x2 – 8x + 12

y = (0)2 – 8(0) + 12      y = 12 Titik potongnya (0, 12)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 8x + 12

4) Gambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Terkadang suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan jika diketahui beberapa unsurnya, yaitu

a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2)

b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya adalah f(x) = a(x – p)2 + q

Aturan ini dipakai untuk menyusun pertidaksamaan kuadrat jika diketahui gambar daerah penyelesaiannya.

contoh soal:

Pada sistem pertidaksamaan linier dan kuadrat, kedua pertidaksamaan tersebut (linier dan kuadrat) dipadukan dalam satu sistem koordinat Cartesius. Sehingga daerah penyelesaiannya adalah irisan dari daerah penyelesaian pertidaksamaan linier dan pertidaksamaan kuadrat.

contoh soal :

1. Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8 dalam tata koordinat Cartesius,       Jawab

Pertama akan digambar daerah penyelesaian 2x + 3y ≥ 12

Selanjutnya digambar juga daerah penyelesaian y ≤ –x2 + 2x + 8,  langkah :

Menentukan tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

–x2 + 2x + 8 = 0

x2 – 2x – 8 = 0

(x – 4)(x + 2) = 0

x = –2 dan x = 4 . Titik potongnya (–2 0) dan (4, 0)

Menentukan tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

y = –x2 + 2x + 8

y = –(0)2 + 2(0) + 8      y = 8 . Titik potongnya (0, 8)

Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 2x + 8

menggambar daerah penyelesaiannya (Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Irisan dari kedua daerah penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 12 dan y ≤ –x2 + 2x + 8

Gambar daerahnya adalah sebagai berikut: